Sista ordet om Salby

Se uppdatering 130719 längst ner!

Det här är en uppföljning av det föregående inlägget om Murry Salby och hans hypotes att koldioxidhalten i atmosfären bestäms av integralen av globala temperaturen. Enligt den inom vetenskapen vedertagna uppfattningen, så beror ökningen av koldioxidhalten i atmosfären på mänskliga aktiviteter, och då främst användning av fossila bränslen. Salbys 'upptäckt' har av s k 'klimatskeptiker' framställts som en utmaning till denna uppfattning. Koldioxidhalten och integralen över temperaturen (med ett visst val av baslinje) passar så bra ihop att det inte kan vara en ren tillfällighet, resonerar man (se figuren här nedan). Någon fysikaliskt plausibel förklaring till detta förhållande har man dock inte lyckats åstadkomma.

Figur från Klimatupplysningen. Rött är observerad koldioxidhalt, och blått är beräknad enligt integralen av temperaturen (HadCRUT4), anpassad med minsta-kvadrat-metoden.

I det föregående inlägget visade vi att det var lätt att få kurvor som hyfsat liknade koldioxidkurvan genom att integrera över en kurva med positiv trend. När man integrerar över en linjär funktion (trend) så får man en kvadratisk funktion. Men koldioxidkurvan verkar snarare vara exponentiell.

Här är en tabell med historiska CO2-halter i miljondelar (ppm) från Lawdome, Antarktis (isborrkärnor, till 1950) samt Mauna Loa, Hawaii (luftmätningar). Dessa är jämförda med värden beränkade enligt den exponentiella funktionen 280+4.7*1.02^y, där y är antalet år sedan 1850. Värdena ligger mycket nära varandra. Alltså kan koldioxidhaltkurvan approximeras av en exponentiell funktion (+ en konstant term som kan elimineras om man utgår från ökningen sedan 280 ppm).

År       CO2    exp fun
1850   284.7  284.7
1860   286.2  285.7
1870   287.5  287.0
1880   290.7  288.5
1890   294.2  290.3
1900   295.8  292.6
1910   299.7  295.4
1920   303.0  298.7
1930   307.2  302.9
1940   310.4  307.9
1950   310.7  314.0
1960   316.9  321.5
1970   325.6  330.6
1980   338.6  341.6
1990   354.3  355.2
2000   369.5  371.6
2010   389.8  391.7

En exponentiell funktion har egenheten att när man integrerar den så får man en exponentiell funktion med samma bas (a = 1.02 i det här fallet) och samma exponent.

Det tillkommer bara en konstant faktor (1/ln a) och en konstant term C (den senare kan dock elimineras). Därför kan man få en perfekt anpassning mellan de två kurvorna (dvs före och efter integration).

Om man integrerar över koldioxidhalten (efter att ha dragit från konstanten 280) kommer man alltså att få en kurva som går att anpassa väldigt bra till den ursprungliga kurvan.

Så vart kommer temperaturen in? Temperaturen är logaritmiskt relaterad till koldioxidhalten (enligt bl a IPCC), men i det aktuella intervallet så är förhållandet nästan linjärt. Eftersom temperaturen också påverkas av andra faktorer, så blir det dock stundtals ganska stora avvikelser. Likväl, om man tittar på temperaturen sedan 1850 så finns där en tydlig exponentiell tendens.

Därför bör integralen av temperaturen sedan 1850 också få en ungefärligt exponentiell form, med ungefär samma bas.  Avvikelserna orsakade av andra faktorer kommer dessutom till stor del att jämnas till vid integreringen.  Detta kan vi bekräfta genom att titta på integralen av temperaturen (den blå kurvan i figuren här ovan).

Och därför kommer integralen av temperaturen, liksom integralen av koldioxidhalten, att likna kurvan för koldioxidhalten (röd linje i figuren här ovan). Detta är alls ingen tillfällighet, utan en följd av matematik och redan känd fysik. Och framför allt: man behöver inte uppfinna någon ny fysik av typen "CO2 kontrolleras helt av temperaturintegralen" för att förklara likheten.

Nu hoppas jag verkligen att vi har sett det sista av Salby. Han har redan fått mycket mer uppmärksamhet än han förtjänar.

H/T: Tom Curtis.

Uppdatering 130719: Här är den sista pusselbiten. Jag har experimenterat lite med att ta två positiva funktioner och beräkna  R²-värdet mellan dem. Sedan har jag beräknat deras integraler och även beräknat R²-värdet mellan integralerna. Integralernas R²-värden är genomgående mycket bättre är de ursprungliga funktionernas R²-värden, och hamnar ofta på 0,98 eller 0,99 även när de ursprungliga funktionerna har ett R² på 0,6 eller 0,7. Så integrationen kan i det här fallet ses som en R²-höjande operation. Detta är inte så överraskande eftersom integralen av en positiv funktion alltid kommer att få en positiv trend.
Så även om CO2 och temperatur endast har en hyfsad R² (efter anpassning), så kommer deras integraler att ha en mycket bättre anpassning. Integralen av den approximativt exponentiella CO2-kurvan kommer dessutom att vara väldigt lik CO2-kurvan innan integrering (detta är en egenskap hos exponentiella funktioner). Det är därför som integralen av temperaturen och CO2-kurvan får ett så bra R²-värde.

Därmed har vi en fullständig matematisk och fysikalisk förklaring av hur CO2-kurvan och temperaturintegralen kan anpassas så att de får ett R²-värde på 0,99.

Om de s k 'klimatskeptikerna hade varit riktiga skeptiker så hade de själva sökt efter en sådan förklaring. Och nu när förklaringen finns så hade de erkänt den.

Uppdatering 130720: På den andra bloggen fortsätter en viss pensionerad kemiprofessor att skriva strunt och dumheter om min analys (min fetning):

En djupare analys av dataprofessorn Lars Karlssons övningar på UI visar att de resultat han kommit fram till motsäger de slutsatser som han drar. Han påstår att det faktum att en viss exponentiell ekvation för koldioxidhalten kan anpassas till observationerna bevisar att Murry Salbys ekvation stämmer med observationerna av en slump. Men i själva verket har Lars Karlsson funnit ytterligare stöd för att Murry Salbys ekvation överensstämmer med observationerna inte bara av en slump.

Professorns analys var visst inte djupare än att han helt lyckades vända min slutsats upp-och-ner. Så här skrev jag:

Och därför kommer integralen av temperaturen, liksom integralen av koldioxidhalten, att likna kurvan för koldioxidhalten (röd linje i figuren här ovan). Detta är alls ingen tillfällighet, utan en följd av matematik och redan känd fysik.

För att sammanfatta logiken i min analys:

1. koldioxidkurvan är approximativt exponentiell; 
2. temperaturen påverkas av koldioxiden och har därför en exponentiell trend;
3. när man integrerar en exponentiell funktion får man en liknande exponentiell funktion (skillnaden är en konstant faktor); 
4. integrering får positiva funktioner att likna varandra mer;  
5. därför blir integralen av temperaturen mycket lik integralen av koldioxiden; 
6. den senare blir mycket lik den ointegrerade koldioxiden (pga att koldioxidkurvan är approx. exponentiell); 
7. därför är integralen av temperaturen mycket lik koldioxiden.

Uppdatering 130724: Jag har gjort fler experiment, där jag:

1. genererar en syntetisk CO2-kurva som en exponentiell funktion + lite AR-brus.
2. genererar en temp-kurva som CO2 + ganska mycket AR-brus.
3. beräknar integralen av temp-kurvan.
4. beräknar maximalt R² mellan CO2 och temp, och mellan CO2 och integrerad temp.

Restulatet är (med några undantag) en R² före integrering på strax över 0,8, och en R² efter integrering på över 0,99.

Här är ett exempel (R² för temp = 0,81, R² för integrerad temp = 0,99):